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数学分析
文章归档

[数学分析]-习题8.5.2-勒让德变换

问题 从变量$x^1, \cdots, x^m$和函数$f(x^1,\cdots, x^m)$到新变量$\xi_1, \cdots, \xi_m$和新函数$f^*(\xi_1,\cdots, \xi_m)$的勒让德变换由下列关系给出 \[ \left\{ \begin{aligned} & \xi_i = \pp{f}{x^i}(x) \\ & f^*(\xi) = \sum_{i=1}^m \xi_i x^i - f(x) \end{aligned} \r…

92   2022-08-20  

[数学分析]-习题8.7.4-函数的相关性

定义 一组连续函数$f^i(x)\;(i=1, \cdots, n)$在点$x_0$的邻域内称为函数独立的,如果对于定义在点 \[y_0 = (y_0^1,\cdots, y_0^n) = (f^1(x_0),\cdots,f^n(x_0)) = f(x_0)\] 的邻域内的任何连续函数$F(y)$,仅当$F(y) \equiv 0$时才有 \[F(f^1(x),\cdots,f^n(x)) \equiv 0 \] 反之称为函数相关的。 问…

129   2022-07-18  

[数学分析]-习题8.4.5-阿达马引理

题目 设$I = \{ x \in \R^m | |x^i| \leq c^i \}$,$I$是闭区间$[a,b]$,请证明(a)如果函数$f(x,y) = f(x^1,\cdots ,x^m , y)$在集合$I^m \times I^1$上有定义且连续,则$\forall \varepsilon >0,\, \exists \delta >0 $,使得当$x\in I^m,\,y_1,y_2 \in I$且$|y_1 - y_2|<\delta$时$$ |f(x,y_1) - f(x,y_2)|<\varepsilon $$(b)函数$F(x) = \int_a^b f(x,y) \dl y$在区间$I^m$上有定义且连续(c)如果$f \in C(I^m ; \R)$,则函数$\mF (x,t) = f(xt)$在$I^m \times I^1$…

133   2022-07-05  

[数学分析]-习题4.2.10-最佳逼近存在性

题目 设$P_n(x)$是$n$次多项式,用多项式来逼近有界函数$f:[a,b] \to \mathbb{R}$。设 $$\Delta(P_n) = \sup\limits_{x\in[a,b]}|f(x)-P_n(x)|,\, E_n(f) = \inf\limits_{\mathcal{P}_n}\Delta (P_n)$$ 如果$\Delta (P_n) = E_n(f)$,则称$P_n$为函数的最佳逼近多项式。证明: (a)零次最佳逼近多项式$P_0(x)=a_0$存在。 (b)当$P_n$是固定的多项式时,在形如$\lambda P_n(x)$的多项式$Q_{\lambda}(x)$中可以找到满足 $$\Delta (Q_{\lambda_0}) = \min_{\lambda \in …

234   2022-05-15  

[数学分析]-阿基米德原理(The Principle of Archimedes)

愈发觉得阿基米德原理和它的推论是整个分析学的基石,关于它的介绍很多,不限于博客,视频,教材等。我的文章只是对它们的拙劣的模仿。 在该篇文章中我会记录阿基米德原理的定义,一些推论,还有位置计数法。 1.阿基米德原理 如果$h$是任意一个固定的正数,则对任何实数$x$,可以找到唯一的整数$k$,使得$(k-1)h …

215   2022-04-18  

笔记-中值定理

1.第一中值定理 $f(x)$在$[a,b]$连续,$\varphi (x)$在此区间非负: $ \begin{align*} &\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a) \\ &\int_a^b f(x)\varphi(x)dx =f(c)\int_a^b \varphi(x)dx \end{align*} $ 证明: $ \begin{align*} &F(x)=\int_a^x f(u)\varphi(u)du \enspace,\enspace \varPhi(x) = \int_a…

197   2022-01-23