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数学
文章归档

[数学分析]-习题8.5.2-勒让德变换

问题 从变量$x^1, \cdots, x^m$和函数$f(x^1,\cdots, x^m)$到新变量$\xi_1, \cdots, \xi_m$和新函数$f^*(\xi_1,\cdots, \xi_m)$的勒让德变换由下列关系给出 \[ \left\{ \begin{aligned} & \xi_i = \pp{f}{x^i}(x) \\ & f^*(\xi) = \sum_{i=1}^m \xi_i x^i - f(x) \end{aligned} \r…

92   2022-08-20  

[数学分析]-习题8.7.4-函数的相关性

定义 一组连续函数$f^i(x)\;(i=1, \cdots, n)$在点$x_0$的邻域内称为函数独立的,如果对于定义在点 \[y_0 = (y_0^1,\cdots, y_0^n) = (f^1(x_0),\cdots,f^n(x_0)) = f(x_0)\] 的邻域内的任何连续函数$F(y)$,仅当$F(y) \equiv 0$时才有 \[F(f^1(x),\cdots,f^n(x)) \equiv 0 \] 反之称为函数相关的。 问…

129   2022-07-18  

[数学分析]-习题4.2.10-最佳逼近存在性

题目 设$P_n(x)$是$n$次多项式,用多项式来逼近有界函数$f:[a,b] \to \mathbb{R}$。设 $$\Delta(P_n) = \sup\limits_{x\in[a,b]}|f(x)-P_n(x)|,\, E_n(f) = \inf\limits_{\mathcal{P}_n}\Delta (P_n)$$ 如果$\Delta (P_n) = E_n(f)$,则称$P_n$为函数的最佳逼近多项式。证明: (a)零次最佳逼近多项式$P_0(x)=a_0$存在。 (b)当$P_n$是固定的多项式时,在形如$\lambda P_n(x)$的多项式$Q_{\lambda}(x)$中可以找到满足 $$\Delta (Q_{\lambda_0}) = \min_{\lambda \in …

233   2022-05-15  

[数学分析]-阿基米德原理(The Principle of Archimedes)

愈发觉得阿基米德原理和它的推论是整个分析学的基石,关于它的介绍很多,不限于博客,视频,教材等。我的文章只是对它们的拙劣的模仿。 在该篇文章中我会记录阿基米德原理的定义,一些推论,还有位置计数法。 1.阿基米德原理 如果$h$是任意一个固定的正数,则对任何实数$x$,可以找到唯一的整数$k$,使得$(k-1)h …

215   2022-04-18  

[LA]-矩阵

1.定义 设$T\in \mathcal{L}(V,W)$,$T$关于$v,w$两个基的矩阵为$M(T)$,$A_{jk}$满足 $$Tv_k=A_{1k}w_1+A_{2k}w_2+\cdots +A_{mk}w_m$$ 加法定义$(A+C)_{jk}=A_{jk}+C_{jk}$标量乘法定义$(\lambda A)_{jk}=\lambda A_{jk}$乘法定义$(AC)_{jk}=\sum_{i=1}^{n}A_{ji}C_{ik}$ 乘法定义过程 $T\in \mathcal{L}…

266   2022-03-04  

[LA]-SVD

定义 奇异值分解本质上是一个空间中两组规范正交基的联系。 设$T \in \mathcal{L}(V)$有奇异值$s_1,s_2,\cdots,s_n$,则$V$有两个规范正交基$\{e_1,\cdots,e_n\},\{f_1,\cdots,f_n\}$使得对每个$v\in V$均有$Tv=s_1\langle v,e_1 \rangle f_1+\cdots +s_n\langle v,e_n \rangle f_n$. 写成矩阵的形式即 $$ Tv= \begin{bmatrix} f_1&\cdots&f_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1&&0 \\ &\ddots& \\ 0&&s_n \end{bmatrix} \begin{bmatr…

216   2022-02-14  

笔记-中值定理

1.第一中值定理 $f(x)$在$[a,b]$连续,$\varphi (x)$在此区间非负: $ \begin{align*} &\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a) \\ &\int_a^b f(x)\varphi(x)dx =f(c)\int_a^b \varphi(x)dx \end{align*} $ 证明: $ \begin{align*} &F(x)=\int_a^x f(u)\varphi(u)du \enspace,\enspace \varPhi(x) = \int_a…

197   2022-01-23  

[概率论]-F分布推导

最后来看看F分布。其实F分布的推导和t分布很像 https://mid9ts.xyz/?p=124 zh 下面我们进入正题。 F分布推导 当$X \sim \chi ^2(n_1),Y \sim \chi ^2(n_2)$时,有 $$ \frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}} \sim F(n_1,n_2) $$ 作变换 $$ \begin{cases} u= \frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}}\…

159   2022-01-17  

[概率论]-t分布推导

继续来看t分布,如果你对此篇文章中的特殊函数还有变换方法有疑惑,可以翻翻我的上一篇文章: https://mid9ts.xyz/?p=45 zh 下面进入正题。 t分布推导 如果$X \sim N(0,1),Y\sim \chi ^2 (n)$,则$Z=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$ 作变换: $$ \begin{cases} u=\frac{X…

266   2022-01-16  

[概率论]-卡方分布推导

长话短说,文章在我的博客和 知乎上都会同步更新,博主自己也才疏学浅,欢迎大家纠错。 在给出常见的 $$ \sum_{k=1}^n X_1^2+X_2^2+...+X_n^2 \enspace \text{服从}\enspace \chi ^2(n)$$ 证明之前,首先需要了解两个必要的知识,一是伽马函数,二是为什么Z=X+Y的分布可以写成卷积形式。后者在概率论的教材上会详…

327   2022-01-14