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笔记
文章归档

[张量]-Wald(1984)P.16.

梁灿彬老师的广相P22留下的引用,我翻了一下原文,并且做了些简单的补充。 PROOF 首先证明$\forall F:\R^m \to \R,\; F \in C^{\infty},\; \exists H_{\mu} \in C^{\infty}$使$\forall x \in \R^m$有 \[ F(x) = F(a) + \sum_{\mu} (x^{\mu} - a^{\mu}) H_{\mu}(x) \] 且 \[ \left. H_{\mu}(a) = \pp{F}{x^{…

19   2022-09-26  

[数学分析]-阿基米德原理(The Principle of Archimedes)

愈发觉得阿基米德原理和它的推论是整个分析学的基石,关于它的介绍很多,不限于博客,视频,教材等。我的文章只是对它们的拙劣的模仿。 在该篇文章中我会记录阿基米德原理的定义,一些推论,还有位置计数法。 1.阿基米德原理 如果$h$是任意一个固定的正数,则对任何实数$x$,可以找到唯一的整数$k$,使得$(k-1)h …

215   2022-04-18  

[LA]-矩阵

1.定义 设$T\in \mathcal{L}(V,W)$,$T$关于$v,w$两个基的矩阵为$M(T)$,$A_{jk}$满足 $$Tv_k=A_{1k}w_1+A_{2k}w_2+\cdots +A_{mk}w_m$$ 加法定义$(A+C)_{jk}=A_{jk}+C_{jk}$标量乘法定义$(\lambda A)_{jk}=\lambda A_{jk}$乘法定义$(AC)_{jk}=\sum_{i=1}^{n}A_{ji}C_{ik}$ 乘法定义过程 $T\in \mathcal{L}…

266   2022-03-04  

[LA]-SVD

定义 奇异值分解本质上是一个空间中两组规范正交基的联系。 设$T \in \mathcal{L}(V)$有奇异值$s_1,s_2,\cdots,s_n$,则$V$有两个规范正交基$\{e_1,\cdots,e_n\},\{f_1,\cdots,f_n\}$使得对每个$v\in V$均有$Tv=s_1\langle v,e_1 \rangle f_1+\cdots +s_n\langle v,e_n \rangle f_n$. 写成矩阵的形式即 $$ Tv= \begin{bmatrix} f_1&\cdots&f_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1&&0 \\ &\ddots& \\ 0&&s_n \end{bmatrix} \begin{bmatr…

216   2022-02-14  

笔记-中值定理

1.第一中值定理 $f(x)$在$[a,b]$连续,$\varphi (x)$在此区间非负: $ \begin{align*} &\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a) \\ &\int_a^b f(x)\varphi(x)dx =f(c)\int_a^b \varphi(x)dx \end{align*} $ 证明: $ \begin{align*} &F(x)=\int_a^x f(u)\varphi(u)du \enspace,\enspace \varPhi(x) = \int_a…

197   2022-01-23  

[概率论]-F分布推导

最后来看看F分布。其实F分布的推导和t分布很像 https://mid9ts.xyz/?p=124 zh 下面我们进入正题。 F分布推导 当$X \sim \chi ^2(n_1),Y \sim \chi ^2(n_2)$时,有 $$ \frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}} \sim F(n_1,n_2) $$ 作变换 $$ \begin{cases} u= \frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}}\…

159   2022-01-17  

[概率论]-t分布推导

继续来看t分布,如果你对此篇文章中的特殊函数还有变换方法有疑惑,可以翻翻我的上一篇文章: https://mid9ts.xyz/?p=45 zh 下面进入正题。 t分布推导 如果$X \sim N(0,1),Y\sim \chi ^2 (n)$,则$Z=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$ 作变换: $$ \begin{cases} u=\frac{X…

266   2022-01-16  

[概率论]-卡方分布推导

长话短说,文章在我的博客和 知乎上都会同步更新,博主自己也才疏学浅,欢迎大家纠错。 在给出常见的 $$ \sum_{k=1}^n X_1^2+X_2^2+...+X_n^2 \enspace \text{服从}\enspace \chi ^2(n)$$ 证明之前,首先需要了解两个必要的知识,一是伽马函数,二是为什么Z=X+Y的分布可以写成卷积形式。后者在概率论的教材上会详…

327   2022-01-14