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[数学分析]-习题8.7.4-函数的相关性

[数学分析]-习题8.7.4-函数的相关性

定义

一组连续函数$f^i(x)\;(i=1, \cdots, n)$在点$x_0$的邻域内称为函数独立的,如果对于定义在点

\[y_0 = (y_0^1,\cdots, y_0^n) = (f^1(x_0),\cdots,f^n(x_0)) = f(x_0)\]

的邻域内的任何连续函数$F(y)$,仅当$F(y) \equiv 0$时才有

\[F(f^1(x),\cdots,f^n(x)) \equiv 0 \]

反之称为函数相关的。

问题

(a)点$x=(x^1,\cdots,x^m) \in \R^m$的一组函数$\pi^i(x) = x^i$在空间$\R^m$中任何点函数独立。

(b)对于任何函数$f\in C(\R^m;\R)$,由$\pi^1,\cdots,\pi^m,f$组成的一组函数相关。

(c)一组光滑函数$f^1,\cdots,f^k$构造的映射$f$在$x_0$的秩为$k$,则在该店的邻域内可将这一组函数扩充为函数独立的一组函数$f^1,\cdots,f^m$。

(d)如果由一组光滑映射

\[\xi^i = f^i(x^1,\cdots,x^m)\]

构造的映射$f = (f^1,\cdots,f^m)$在点$x_0$的秩是$m$,则可以认为变量$(\xi^1,\cdots,\xi^m)$在$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内是曲线坐标,并且任何函数$\varphi:U\to\R$都可以写为

\[\varphi(x) = F(f^1(x),\cdots,f^m(x))\]

其中$F = \varphi \circ f^{-1}$

(e)由一组光滑函数构造的映射的秩也称为这一组函数的秩,请证明:如果一组光滑函数$f^i(x)\;(i = 1,\cdots,k)$的秩为$k$,并且函数组$f^1,\cdots,f^k,\varphi $在某点$x_0 \in \R^m$的秩也为$k$,则在该点的邻域内$\varphi(x) = F(f^1(x),\cdots,f^k(x))$.

证明

(a)

\[(x^1,\cdots,x^m) \stackrel{\pi}{\mapsto} (x^1,\cdots,x^m) = (y^1,\cdots,y^m)\]

显然对任何$y$,有且只有一个$x$与之对应。所以$F(y^1,\cdots,y^m) \equiv 0 \Leftrightarrow F(x^1,\cdots,x^m) \equiv 0$

(b)

该问最方便理解函数的相关性。

\[(x^1,\cdots,x^m) \stackrel{g}{\mapsto} (x^1,\cdots,x^m,f(x^1,\cdots,x^m)) = (y^1,\cdots,y^{m+1})\]

定义$F:F(y) = y^{m+1} – f(y^1,\cdots,y^m) $,接下来需要说明为何如此定义会使相关性成立,考虑$(F\circ f)(x) = f(x^1,\cdots,x^m) – f(x^1,\cdots,x^m) \equiv 0$,而如果在像点$y$的邻域中任选一个新的$\tilde{y}^{m+1} \ne y^{m+1}$,将会导致$F(y) = \tilde{y}^{m+1} – f(y^1,\cdots,y^m) \ne 0$。还有另一个简单的例子,令

\[ \begin{align*} &y^1 = (x^1)^2 + (x^2)^2 \\ &y^2 = x^1 + x^2 \\ &y^3 = x^1x^2 \end{align*} \]

则$(y^2)^2 – y^1 – 2y^3$在$(2,2,1)$处的领域上并不一定为$0$,而$(x^1+x^2)^2 – (x^1)^2 + (x^2)^2 – 2x^1x^2 \equiv 0$。可见,在经过变换后$y$的选择是自由的,但$x$的邻域的像并不包含其像点的一个完整的邻域,而是降低了一定的维度所形成的曲面。

(c)定义变换如下

\[ \begin{align*} & y^1 = f^1(x^1,\cdots,x^m) \\ &\vdots \\ & y^k = f^k(x^1,\cdots,x^m) \\ & y^{k+1} = x^{k+1} \\ &\vdots \\ & y^m = x^m \end{align*} \]

根据条件,该变换的雅可比行列式

\[ \left | \begin{matrix} \pp{f}{x} & \pp{f}{x} \\ 0 & E \end{matrix} \right | \ne 0 \]

因此存在微分同胚$f:O(x) \to O(y)$,$\forall y \in O(y)\; \exists !x \in O(x) \; (f(x) = y)$,所以$\forall y \in O(y)\; (F(y) = 0 \Leftrightarrow F(f(x)) = 0) $

(d)由于是光滑映射,所以至少是$f\in C^{(1)}(U(x_0),\R^m)$。在此列出所有条件,然后用反函数定理

\[ \left\{ \begin{aligned} &f \in C^{(1)}(U(x_0),\R^m) \\ &f(x_0) = \xi_0 \\ &f'(x_0) \textrm{可逆} \end{aligned} \right. \]

故存在$O(x_0)\times O(\xi_0) \subset U(x_0) \times \R^m$上的微分同胚$f:O(x_0) \to O(\xi_0)$

定义$F = \varphi \circ f^{-1}$,在$O(x_0)$内满足$\varphi(x) = (\varphi \circ f^{-1} \circ f)(x) = (F \circ f)(x)$.

(e)

首先假设$\varphi:\R^m \to \R$。定义变换$g$如下

\[ \begin{align*} &\xi^1 = f^1(x^1,\cdots,x^m) \\ &\vdots \\ &\xi^k = f^k(x^1,\cdots,x^m) \\ &\xi^{k+1} = x^{k+1} \\ &\vdots \\ &\xi^m = x^m \end{align*} \]

和c问一样,他是邻域$O(x_0) \to O(\xi_0)$的微分同胚。定义$F=\varphi \circ g^{-1}$,从而在该邻域内$\varphi = F \circ g$。根据条件,变换$(x^1,\cdots,x^m) \mapsto (f^1(x),\cdots,f^k(x),\varphi(x))$的切映射为

\[ \begin{bmatrix} \pp{f^1}{x^1} &\cdots &\pp{f^1}{x^m} \\ \vdots & &\vdots \\ \pp{f^m}{x^1} &\cdots &\pp{f^m}{x^m} \\ \pp{\varphi}{x^1} &\cdots &\pp{\varphi}{x^m} \end{bmatrix} \]

由复合微分$\partial _i \varphi (x) = \partial_j F (g(x)) \partial_i g^j (x)$,得到

\[ \pp{\varphi}{x^1}(x) = \left\{ \begin{aligned} &\sum_{j=1}^{k} \pp{F}{\xi^j}(g(x)) \pp{f^j}{x^i}(x) &(x \leq k) \\ &\sum_{j=1}^{k} \pp{F}{\xi^j}(g(x)) \pp{f^j}{x^i}(x) + \pp{F}{\xi^i}(g(x)) &(x > k) \end{aligned} \right. \]

因此上述矩阵可视为

\[ AB = \left[ \begin{array}{ccc:c} 1 & & 0 & 0 \\ & \ddots & & \vdots \\ 0 & & 1 & 0 \\ \hdashline \pp{F}{\xi^1} & \cdots &\pp{F}{\xi^k} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc:ccc} \pp{f^1}{x^1} & \cdots & \pp{f^1}{x^k} & \pp{f^1}{x^{k+1}} & \cdots & \pp{f^1}{x^m} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \pp{f^k}{x^1} & \cdots & \pp{f^k}{x^k} & \pp{f^k}{x^{k+1}} & \cdots & \pp{f^k}{x^m} \\ \hdashline 0 & \cdots & 0 & \pp{F}{\xi^{k+1}} & \cdots & \pp{F}{\xi^m} \end{array} \right] \]

其中$\rank A = k+1,\; \rank AB = k$,从而$\rank B = k$。显然有

\[\pp{F}{\xi^{k+1}} = \cdots = \pp{F}{\xi^m} = 0\]

上述式子表明$F$与$\xi^{k+1},\cdots,\xi^m$无关,所以可将$\varphi$改写如下

\[\varphi(x) = F(g^1(x),\cdots,g^m(x)) = F(g^1(x),\cdots,g^k(x)) = F(f^1(x),\cdots,f^k(x))\]

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2022-07-18