Mid9ts
大学生
Mid9ts的博客

[数学分析]-习题8.4.5-阿达马引理

题目

设$I = \{ x \in \R^m | |x^i| \leq c^i \}$,$I$是闭区间$[a,b]$,请证明
(a)如果函数$f(x,y) = f(x^1,\cdots ,x^m , y)$在集合$I^m \times I^1$上有定义且连续,则$\forall \varepsilon >0,\, \exists \delta >0 $,使得当$x\in I^m,\,y_1,y_2 \in I$且$|y_1 – y_2|<\delta$时
$$ |f(x,y_1) – f(x,y_2)|<\varepsilon $$
(b)函数$F(x) = \int_a^b f(x,y) \dl y$在区间$I^m$上有定义且连续
(c)如果$f \in C(I^m ; \R)$,则函数$\mF (x,t) = f(xt)$在$I^m \times I^1$上有定义且连续,其中$I^1 = {t\in \R | |t| \leq 1}$
(d)阿达马引理:如果$f \in C^1(I^m ; \R)$,且$f(0) = 0$,则函数$g_1,\cdots ,g_m \in C(I^m ; \R)$存在,使得在$I^m$中
$$ f(x^1,\cdots ,x^m) = \sum_{i=1}^{m} x^i g_i (x^1,\cdots ,x^m ) $$
并且
$$ g_i(0) = \pp{f}{x^i}(0) $$

解答

(a)$I^m \times I^1$是紧集,如果函数连续,则其一致连续。因此对$\forall \varepsilon > 0,\,\exists \delta >0$,当$d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) < \delta$时有$|f(x,y_1) – f(x,y_2)|<\varepsilon $,显然$x_1 = x_2$时也成立。\ (b) $y$在闭区间$I$上连续,因此该积分有定义。 由于连续,则对于任意一个$x\in I^m$,$\forall \varepsilon > 0 ,\, \exists \delta > 0$当$||h|| < \delta$时有$|f(x+h,y) – f(x,y)|<\varepsilon/(b-a)$,因此
\[
F(x+h) – F(x) = \int_a^b f(x+h,y) – f(x,y) \dl y < \frac{\varepsilon}{b-a}(b-a)
\]
(c)
定义函数$\varphi : I^m \times I^1 \to I^m : \varphi(x^1, \cdots, x^m, t) = (x^1t,\cdots x^m t)$,因此$\mF (x,t) = (f\circ \varphi)(x,t)$。已知$f$是连续的,现在证明$\varphi$有定义且连续。如果$(t_1x_1^1, \cdots, t_1x_1^m) \ne (t_2x_2^1, \cdots, t_2x_2^m)$,则至少有一对坐标不相等$t_1x_1^i \ne t_2x_2^i$,必然得出$t_1\ne t_2 \vee x_1^i \ne x_2^i$,所以$(x_1^1, \cdots, x_1^m, t_1) \ne (x_2^1, \cdots, x_2^m, t_2)$,因此$\varphi$有定义。
$$ \begin{align} d(\varphi((x_1,t_1),(x_2,t_2)) &= \sqrt{\sum_{i=1}^m (t_1 x_1^i – t_2 x_2^i)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^m (t_1x_1^i – t_2 x_1^i + t_2 x_1^i – t_2 x_2^i)^2}\\ &= \sqrt{\sum_{i=1}^m [(t_1 – t_2) x_1^i + t_2 (x_1^i – x_2^i)]^2} \\ &\leq \delta \sqrt{\sum_{i=1}^m (x_1^i + t_2)^2} \end{align} $$
可知$\varphi$连续,所以$\mF (x,t)$连续
(d)
该函数的导数矩阵为
\[
\begin{bmatrix}
\pp{f}{x^1}(xt) & \cdots & \pp{f}{x^m}(xt)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t & 0 & \cdots & 0 & x^1 \\
0 & t & \cdots & 0 & x^2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & t & x^m
\end{bmatrix}
\]
比较有意思的是它和方向导数那部分的讨论类似但是完全不同。所以特意把它写出来,即使这对题目没有多大帮助。
所以
\[
\frac{\dl }{\dl t}\mF (x,t) = \partial_j f(\varphi(x,t)) \partial_{m+1} \varphi^j(x,t) = x^1\pp{f}{x^1}(xt) + \cdots + x^m\pp{f}{x^m}(xt)
\]
两边对$t$积分后得
\[
\mF(x,t) = \int_0^1 \frac{\dl \mF}{\dl t} \dl t = \sum x^i \int_0^1 \pp{f}{x^i}(xt) \dl t
\]

\[
g_i(x) = \int_0^1 \pp{f}{x^i}(xt) \dl t
\]
因此有
\[
g_i(0) = \pp{f}{x^i}(0)
\]

推荐文章

发表评论

textsms
account_circle
email

Mid9ts的博客

[数学分析]-习题8.4.5-阿达马引理
题目 设$I = \{ x \in \R^m | |x^i| \leq c^i \}$,$I$是闭区间$[a,b]$,请证明(a)如果函数$f(x,y) = f(x^1,\cdots ,x^m , y)$在集合$I^m \times I^1$上有定义且连续,则$\forall \var…
扫描二维码继续阅读
2022-07-05