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[数学分析]-习题4.2.10-最佳逼近存在性

题目

设$P_n(x)$是$n$次多项式,用多项式来逼近有界函数$f:[a,b] \to \mathbb{R}$。设

$$\Delta(P_n) = \sup\limits_{x\in[a,b]}|f(x)-P_n(x)|,\, E_n(f) = \inf\limits_{\mathcal{P}_n}\Delta (P_n)$$

如果$\Delta (P_n) = E_n(f)$,则称$P_n$为函数的最佳逼近多项式。证明:

(a)零次最佳逼近多项式$P_0(x)=a_0$存在。

(b)当$P_n$是固定的多项式时,在形如$\lambda P_n(x)$的多项式$Q_{\lambda}(x)$中可以找到满足

$$\Delta (Q_{\lambda_0}) = \min_{\lambda \in \mathbb{R}}(Q_{\lambda})$$

的多项式$Q_{\lambda_0}(x)$

(c)若$n$次最佳逼近多项式存在,则$n+1$次也存在。

(d)对于闭区间上任何有界函数和任何$n=0,1,\cdots$可以找到$n$次最佳逼近多项式。

证明

(a)$\Delta (p_n)$下有界,当$f(x)=P_n(x)$时为$0$。下有界序列一定存在唯一的下确界,所以对于由$\Delta(a)$组成的集合,$\exists ! \inf\limits_{a\in \mathbb{R}} \Delta(a)=E_n(f)$,问题是$\inf\limits_{a\in \mathbb{R}} \Delta(a)$是否在该集合中。所以这道题的重心是建立$a \mapsto \Delta(a)$的映射,证明其连续性,从而证明可以取到这样的$\Delta(a_0)=E_n(f)$。定义$\varphi(a)=\sup\limits_{x\in [a,b]} |f(x)-a|$,于是$\forall a_0 \in \mathbb{R},\,a\ne a_0$

$$ \begin{gather*} \varphi(a_0)=\sup_{x\in[a,b]} |f(x)-a_0|=\sup_{x\in[a,b]} |f(x)-a+a-a_0|\leq \sup_{x\in[a,b]} \left( |f(x)-a|+|a-a_0| \right) \\ \leq \sup_{x\in[a,b]} |f(x)-a|+|a-a_0| = \varphi(a) + |a-a_0| \end{gather*} $$

因此$\forall \varepsilon >0$,只要取$|a-a_0|<\varepsilon$,就能保证$|\varphi(a)-\varphi(a_0)|<\varepsilon$,证得$\varphi (a)$在$\mathbb{R}$上连续。已经证得$\inf \varphi(a)$存在,同时可以验证该点不会在$\infty$处,因为带进去就得到$+\infty$,因此可以选取一个足够大的闭区间将该点包含在内,根据魏尔斯特拉斯最大值原理,断定可以取到一个点$a_0$使$\varphi(a)$最小,即

$$\Delta(a_0) = \min_{a\in \mathbb{R}}(\Delta(a))$$

(b)定义$\varphi(\lambda) = \sup\limits_{x\in [a,b]} |f(x)-\lambda P_n(x)|$,于是$\forall \lambda _0 \in \mathbb{R},\, \lambda \ne \lambda_0$

$$ \begin{gather*} \varphi(\lambda_0) = \sup_{x\in [a,b]} |f(x)-\lambda_0 P_n(x)| = \sup_{x\in [a,b]} |f(x)-\lambda P_n(x)+(\lambda_0 – \lambda)P_n(x)| \\ \leq \sup_{x\in [a,b]} (|f(x)-\lambda P_n(x)|+|(\lambda_0 – \lambda)P_n(x)|) \leq \varphi(\lambda)+\sup_{x\in [a,b]}|(\lambda_0 – \lambda)P_n(x)| \\ = \varphi(\lambda)+|\lambda – \lambda _0|\sup_{x\in [a,b]}|P_n(x)| \end{gather*} $$

$\forall \varepsilon >0$,选取$|\lambda – \lambda_0|<\varepsilon / \sup |P_n(x)|$,就可以保证$|\varphi(\lambda)-\varphi(\lambda_0)|<\varepsilon $证得连续。按照和上一问同样的步骤,可以得知存在一点$\lambda_0$使$\varphi(\lambda)$取最小值,即

$$ \Delta (Q_{\lambda_0}) = \min_{\lambda\in \mathbb{R}}\Delta(Q_{\lambda}) $$

(c)$\forall g \in C[a,b]$,构造$f(x)=g(x)-\lambda x^{n+1}\, (\lambda \in \mathbb{R} )$,容易验证$f \in C[a,b]$,由于$n$次最佳逼近存在,固定下$\lambda$,就可以确定$\exists \tilde{P}^{\lambda}_n(x) \in \mathcal{P}_n,\, \Delta(P_n) \geq \Delta (\tilde{P}_n)$,即

$$ \begin{gather*} \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-P_n(x)| \geq \sup_{x\in [a,b]}|f(x)-\tilde{P}^{\lambda}_n(x)| \\ \Leftrightarrow \sup_{x\in [a,b]}|g(x) – (\lambda x^{n+1}+P_n(x))| \geq \sup_{x\in [a,b]}|g(x) -(\lambda x^{n+1} + \tilde{P}^{\lambda}_n(x) )| \end{gather*} $$

所以在$\lambda$确定时,所有形如$\lambda x^{n+1}+P_n(x) $的多项式组成的集合${\lambda x^{n+1}+P_n(x)}$中,总是可以找到这样的$\lambda x^{n+1} + \tilde{P}^{\lambda}_n(x) \in { \lambda x^{n+1}+P_n(x)}$,使$\sup\limits_{x\in [a,b]}|g(x) – (\lambda x^{n+1}+P_n(x))| \geq \sup\limits_{x\in [a,b]}|g(x) -(\lambda x^{n+1} + \tilde{P}^{\lambda}_n(x) )|$。定义$P_{n+1}(x;\lambda ) = \lambda x^{n+1}+P_n(x)$,以及$\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda ) = \lambda x^{n+1} + \tilde{P}^{\lambda}_n(x) $,注意之所以这样定义是因为形如$\lambda_1 x^{n+1} + \tilde{P}^{\lambda_2}_n(x)$的式子并不满足上面所讨论的最佳逼近的要求。接下来的工作便是寻找在所有的$\lambda \in \mathbb{R}$中,是否存在这样的$\lambda _0$使$\Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda)) \geq \Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda_0))$。$\forall g \in C[a,b]$

$$ \begin{align*} \Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda)) & \leq \Delta (P_{n+1}(x;\lambda)) \\ & = \sup_{x\in[a,b]}|g(x) – \lambda x^{n+1} – P_n(x)| \\ & = \sup_{x\in[a,b]}|g(x) – \lambda ‘ x^{n+1} – P_n(x) + (\lambda ‘-\lambda)x^{n+1}| \\ & \leq \Delta(P_{n+1}(x;\lambda ‘)) + |\lambda ‘ -\lambda |\sup_{x\in [a,b]}|x^{n+1}| \\ & = \Delta(P_{n+1}(x;\lambda ‘)) + |\lambda ‘ -\lambda |M \end{align*} $$

$$ \begin{gather} \Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda)) \leq \Delta(P_{n+1}(x;\lambda ‘)) + |\lambda ‘ -\lambda |M \end{gather} $$

$P_{n+1}(x;\lambda ‘)$是任意的,显然它可以等于某个关于$\lambda ‘$的最佳逼近,甚至可以直接等于我们想要找的全局最佳逼近。这里就让它是另一个$\lambda ‘$的最佳逼近就好。这样就得到

$$ \Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda)) \leq \Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda ‘)) +|\lambda – \lambda ‘|M $$

同时

$$ \Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda ‘)) \leq \Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda )) +|\lambda ‘ – \lambda |M $$

所以

$$ |\Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda ))-\Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda ‘))|\leq |\lambda – \lambda ‘|M $$

接下来就可以定义关于$\lambda$的函数$\varphi :\lambda \mapsto \Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda))$,$\forall \varepsilon >0$,取$\lambda – \lambda_0< \varepsilon / M$,就能保证$|\varphi (\lambda )-\varphi (\lambda_0)|<\varepsilon$,就证得在$\mathbb{R}$上连续。并且由于$\Delta (\tilde{P}_{n+1}(x;\lambda)) \geq 0$,所以$\varphi (\lambda )$下有界,故在$\mathbb{R}$可以取得最小值点$\lambda 0$。这个点不会是$\infty$,现在最大的问题是,如果$\lambda _0 = 0$,无异于上面全是无用功。所以需要进一步讨论$\lambda _0$的取值情况。考察两个例子,其一如果$g(x)\in \mathcal{P}_n$,那么$\varphi (0)$将会是最小值;其二如果$\varphi (x) \in \mathcal{P}_{n+1}$,那么$\varphi (0)$一定不会是最小值。可见,对于$\varphi (0) $最小的情况,这种方法不可能再找出另外的最小值点,比如用二次式逼近一次式。除非取极限,这里就不再深究了。第二个例子告诉我们,不可能对所有情况都出现$\min\limits_{\mathbb{R}}\varphi (\lambda) = \varphi (0)$,所以当$\lambda _0 \ne 0$时,$\lambda _0x^{n+1} + \tilde{P}^{\lambda _0}_n(x)$就是我们要找的最佳逼近。

(d)归纳法证明

还有一些问题需要说明,概括为证明两个式子:$\sup\limits_{x\in X}kf(x)=k\sup\limits_{x\in X}f(x)$,为了简化这里假设$k>0$;以及$\sup\limits_{x\in X}(f+g)\leq \sup\limits_{x\in X}f+\sup\limits_{x\in X}g$。从上确界的定义入手

$$ \begin{align*} s=\sup_{x\in X}kf(x) &\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 ,\, \exists x’\in X\, \left(s-\varepsilon < kf(x’) \leq s \right) \\ &\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 ,\, \exists x’\in X\, \left(\frac{s}{k}-\frac{\varepsilon}{k} < f(x’) \leq \frac{s}{k} \right) \\ &\Leftrightarrow \frac{s}{k}=\sup_{x\in X}f(x) \end{align*} $$

对于第二式,有$f(x) \leq \sup\limits_{x\in X}f$,$g(x) \leq \sup\limits_{x\in X}g$,因此$f(x)+g(x) \leq \sup\limits_{x\in X}f + \sup\limits_{x\in X}g $,可以说$f(x)+g(x)$具有上界,但其上确界不大于该上界,所以

$$ \sup_{x\in X}(f+g)\leq \sup\limits_{x\in X}f + \sup\limits_{x\in X}g $$

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2022-05-15