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[LA]-矩阵

[LA]-矩阵

1.定义

设$T\in \mathcal{L}(V,W)$,$T$关于$v,w$两个基的矩阵为$M(T)$,$A_{jk}$满足

$$Tv_k=A_{1k}w_1+A_{2k}w_2+\cdots +A_{mk}w_m$$

加法定义$(A+C)_{jk}=A_{jk}+C_{jk}$

标量乘法定义$(\lambda A)_{jk}=\lambda A_{jk}$

乘法定义$(AC)_{jk}=\sum_{i=1}^{n}A_{ji}C_{ik}$

乘法定义过程

$T\in \mathcal{L}(U,V),S\in \mathcal{L}(V,W)$

$$ \begin{align*} (ST)u_k&=S(Tu_k) \\ &=S(\sum_{i=1}^n C_{ik}v_i) \\ &=\sum_{i=1}^n C_{ik}(Sv_i) \\ &=\sum_{i=1}^n C_{ik}\sum_{j=1}^m A_{ji}w_j \\ &=\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n A_{ji}C_{ik}w_j \\ \end{align*} $$

这里定义了$M(ST)$的矩阵,它的$j$行$k$列队元素是$\sum_{i=1}^{n}A_{ji}C_{ik}$,顺着这个思路定义了矩阵的乘法即$(AC)_{jk}=\sum_{i=1}^{n}A_{ji}C_{ik}$.

设$M(S)=A,M(T)=C$,矩阵乘法已被上述定义,那么就有$M(ST)=M(S)M(T)$.

关于求和时出现的交换,以下用更为简洁的方式表达:

$$ \begin{align*} &\sum_i^n C(i)\sum_j^m A(i,j)W(j) \\ =&\sum_i^n \sum_j^m C(i)A(i,j)W(j) \\ =&\sum_j^m \sum_i^n A(i,J)C(i)W(j) \\ =&\sum_j^m \left( \sum_i^n A(i,j)C(i) \right)W(j) \end{align*} $$

可以归纳得到两个有用的式子:

$\sum_i^n \sum_j^m N(i,j)=\sum_j^m \sum_i^n N(i,j)$

$\sum_i^n N(i)\sum_j^m M(j) =\sum_i^n \sum_j^m N(i)M(j)$

2.维数

变换$T$到矩阵$M(T)$的映射是线性映射,$m \times n$矩阵所属的空间记为$\text{F}^{m,n}$,是线性空间。以下给出线性映射的证明(假设$S,T$都使用同样的基)

$$ (T+S)u_k=Tu_k+Su_k=\sum_i^n A_{ik}v_i +\sum_{i}^n C_{ik}v_i $$

可见,$M(T+S)$的第k列是由$M(T)$和$M(S)$的第k列相加组成,根据之前矩阵加法的定义,$AC$相加等价于$A,C$的每一列相加,所以有$M(T+S)=M(T)+M(S)$.

使用类似的方法可以得到$M(\lambda T)=\lambda M(T)$.

在定义了矩阵的加法和常量乘法后,$F^{m,n}$是线性空间,并且$\text{dim}(F^{m,n})=mn$,同时$\text{dim}(\mathcal{L}(V,W))=mn$,因为两者作为线性空间同构。

3.一些运算

转置定义为$A^T_{kj}=A_{jk}$,则$(AC)^T=C^TA^T$

$$ \begin{align*} ((AC)^T)_{kj}&=(AC)_{jk} \\ &=\sum_{i=1}^n A_{ji}C_{ik} \\ &=\sum_{i=1}^n (C^T)_{ki}(A^T)_{ij} \\ &=C^TA^T \end{align*} $$

4.基变换公式

$T\in \mathcal{L}(V)$,$u,v$是$V$的基,$A=M(I,u,v)$,则$M(T,u)=A^{-1}M(T,v)A$

这个公式可以这样理解,$T$是定义在$v$上的算子,若要表示$T$在$u$上的情形,可以先把基转换为$v$,再进行$T$变换,最后把基转换成$u$。证明如下

上面已经给出了矩阵乘法的定义过程,现在给它一个更加确切的描述:

$$M(ST,u,w)=M(S,v,w)M(T,u,v)$$

令$A=M(I,u,v)$,首先用$u$来替换$w$,$I$来替换$S$:

$$M(T,u)=M(I,v,u)M(T,u,v):=A^{-1}M(T,u,v)$$

再用$v$替换$w$,$I$替换$T$:

$$M(S,u,v)=M(S,v)M(I,u,v)$$

把$S$换成$T$,得到

$$M(T,u,v):=M(T,v)A$$

定理得证。

一个复变函数的例子

在这个例子中,各种推导都是自然而然的,并不完全上述公式推导的思路。然而每一步都和基变换公式有契合。

求C-R方程$u_x=v_y,u_y=-v_x$的极坐标形式

$$ \begin{cases} x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{cases} \rightarrow \begin{cases} r=r(x,y) \\ \theta =\theta (x,y) \end{cases} $$

使用链式法则

$$ \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial r}&=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial u}{\partial y}=\left[\cos \theta \frac{\partial}{\partial x}+\sin \theta \frac{\partial}{\partial y} \right]u \\ \frac{\partial u}{\partial \theta}&=\frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial \theta}\frac{\partial u}{\partial y}=\left[-r\sin \theta \frac{\partial}{\partial x}+r\cos \theta \frac{\partial}{\partial y} \right]u \end{align*} $$

可以写成矩阵形式

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial r} \\ \frac{\partial }{\partial \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -r\sin \theta & r\cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix} :=A \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix} $$

注意现在有

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial r} \\ \frac{\partial }{\partial \theta} \end{bmatrix} =A \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix} =A^{-1} \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial r} \\ \frac{\partial }{\partial \theta} \end{bmatrix} $$

直角坐标系下,也就是原来的基中得C-R方程可以写成

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix} u= \begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix} v $$

将$A$作用在两边,得

$$ A \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix} u= A \begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \end{bmatrix} v $$

再通过$A^{-1}$将$v$的基替换成极坐标形式,得到

$$ \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial r} \\ \frac{\partial }{\partial \theta} \end{bmatrix} u= A \begin{bmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{bmatrix} A^{-1} \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial r} \\ \frac{\partial }{\partial \theta} \end{bmatrix} v $$

在上面这个式子中,可以将$A$看作直角坐标到极坐标的变换,中间的矩阵时直角系下的算子,$A^{-1}$是极坐标到直角坐标的变换。

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2022-03-04