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[概率论]-F分布推导

[概率论]-F分布推导

最后来看看F分布。其实F分布的推导和t分布很像

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下面我们进入正题。

F分布推导

当$X \sim \chi ^2(n_1),Y \sim \chi ^2(n_2)$时,有

$$ \frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}} \sim F(n_1,n_2) $$

作变换

$$ \begin{cases} u= \frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}}\\ v=Y \end{cases} $$

注意u和v的取值范围,如果我们想用它来表示F分布的分布函数的话,则有$0 \lt u \lt z,0 \lt v \lt +\infty$

又有逆变换

$$ \begin{cases} X=\frac{n_1}{n_2}uv \\ Y=v \end{cases}$$

雅可比行列式为

$$ |J|= \begin{vmatrix} \frac{n_1}{n_2}v & \frac{n_1}{n_2}u \\ 0 &1 \end{vmatrix} =\frac{n_1}{n_2}v $$

所以原问题经变换后变成

$$ \begin{align*} \iint\limits_A f(x,y)dxdy&=\iint\limits_B f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv \\ &=\int_0^{z}\int_0^{+\infty} f_X(\frac{n_1}{n_2}uv)f_Y(v)\frac{n_1}{n_2}v dvdu \end{align*} $$

已经知道卡方分布的密度函数

$$ \begin{align*} f_X(x)=\frac{1}{2^{\frac{n_1}{2}}\Gamma (\frac{n_1}{2})}x^{\frac{n_1}{2} -1}e^{-\frac x2}\\ f_Y(y)=\frac{1}{2^{\frac{n_2}{2}}\Gamma (\frac{n_2}{2})}y^{\frac{n_2}{2} -1}e^{-\frac y2}\\ \end{align*} $$

所以

$$ \begin{align*} &\int_0^{z}\int_0^{+\infty} f_X(\frac{n_1}{n_2}uv)f_Y(v)dvdu \\ =&\int_0^{z}\int_0^{+\infty}\frac{1}{2^{\frac{n_1}{2}}\Gamma (\frac{n_1}{2})}(\frac{n_1}{n_2}uv)^{\frac{n_1}{2} -1}e^{-\frac{\frac{n_1}{n_2}uv}{2}}\frac{1}{2^{\frac{n_2}{2}}\Gamma (\frac{n_2}{2})}v^{\frac{n_2}{2} -1}e^{-\frac v2}\frac{n_1}{n_2}v dvdu \\ =&\int_0^{z}\frac{u^{\frac{n_1}{2}-1}}{2^{\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2}}\Gamma (\frac{n_1}{2})\Gamma (\frac{n_2}{2})}(\frac{n_1}{n_2})^{\frac{n_1}{2}}\int_0^{+\infty}v^{(\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2})-1}e^{-\frac 12 (\frac{n_1}{n_2}u+1)v}dvdu \\ \end{align*} $$

du中的式子就是我们要找的密度函数,令$\frac 12 (\frac{n_1}{n_2}u+1)=c$,计算v的积分

$$ \begin{align*} \int_0^{+\infty}v^{(\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2})-1}e^{-\frac 12 (\frac{n_1}{n_2}u+1)v}dv &=\frac{1}{c^{(\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2})-1}c}\int_0^{+\infty} (cv)^{(\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2})-1}e^{-cv}d(cv) \\ &=\frac{1}{c^{(\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2})}}\Gamma (\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2}) \end{align*} $$

所以最终F分布的密度函数就是(这里把u替换成z了)

$$ f(z)=\frac{\Gamma (\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2})(\frac{n_1}{n_2})^{\frac{n_1}{2}}}{\Gamma (\frac{n_1}{2})\Gamma (\frac{n_2}{2})}\frac{z^{\frac{n_1}{2}-1}}{(\frac{n_1}{n_2}z+1)^{(\frac{n_1}{2}+\frac{n_2}{2})}} $$

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2022-01-17