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[概率论]-t分布推导

[概率论]-t分布推导

继续来看t分布,如果你对此篇文章中的特殊函数还有变换方法有疑惑,可以翻翻我的上一篇文章:

zh

下面进入正题。

t分布推导

如果$X \sim N(0,1),Y\sim \chi ^2 (n)$,则$Z=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$

作变换:

$$ \begin{cases} u=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} \\ v=Y \end{cases} $$

注意一下X和Y的取值范围$-\infty \lt X \lt +\infty \enspace ,0 \lt Y \lt +\infty$

有反函数:

$$ \begin{cases} X=u\sqrt{\frac{v}{n}} \\ Y=v \end{cases} $$

雅可比行列式为

$$ |J|= \begin{vmatrix} \sqrt{\frac{v}{n}} & \frac{u}{2n}(\frac{v}{n})^{-\frac{1}{2}} \\ 0 &1 \end{vmatrix} =(\frac{v}{n})^{\frac12} $$

所以原问题的分布函数变成

$$ \begin{align*} \iint\limits_A f(x,y)dxdy&=\iint\limits_B f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv \\ &=\int_{-\infty}^{z}\int_{0}^{+\infty} f_X(u\sqrt{\frac vn})f_Y(v))(\frac{v}{n})^{-\frac{1}{2}}dvdu \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \\ f_Y(y)=\frac{1}{2^{\frac n2}\Gamma (\frac n2)}y^{\frac n2 -1}e^{-\frac y2} \end{align*} $$

所以

$$ \begin{align*} F(z)&=\int_{-\infty}^{z}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2} u^2\frac vn} \frac{1}{2^{\frac n2}\Gamma (\frac n2)}v^{\frac n2 -1}e^{-\frac v2}(\frac{v}{n})^{-\frac{1}{2}}dvdu \\ &=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{n\pi}\sqrt{2}}\frac{1}{2^{\frac n2}\Gamma (\frac n2)}\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2} u^2\frac vn-\frac v2}v^{\frac{n-1}{2}}dvdu \end{align*} $$

中间的柿子就是我们要找的密度函数。现在我们来计算$\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2} u^2\frac vn-\frac v2}v^{\frac{n-1}{2}}dv$

回顾一下$\Gamma$函数的定义

$$ \Gamma (x)=\int_0^{+\infty} e^{-t}t^{x-1}dt $$

我们顺着这个思路走下去。变形后得

$$\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2} (\frac{u^2}{n}+1)v}v^{\frac{n-1}{2}}dv$$

令$\frac{1}{2} (\frac{u^2}{n}+1)=c$

$$ \begin{align*} \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2} (\frac{u^2}{n}+1)v}v^{\frac{n-1}{2}}dv &=\frac{1}{c^{\frac{n-1}{2}}c}\int_{0}^{+\infty} e^{-cv}(cv)^{\frac{n+1}{2}-1}d(cv) \\ &=\frac{1}{c^{\frac{n+1}{2}}}\Gamma (\frac{n+1}{2})\\ &=\frac{1}{(\frac{\frac{u^2}{n}+1}{2})^{\frac{n+1}{2}}}{}\Gamma (\frac{n+1}{2}) \end{align*} $$

所以(这里我把u换成z了)

$$ \begin{align*} f(z)&=\frac{1}{\sqrt{n\pi}2^{\frac{n+1}{2}}\Gamma (\frac n2)}\frac{1}{(\frac{\frac{z^2}{n}+1}{2})^{\frac{n+1}{2}}}\Gamma (\frac{n+1}{2})\\ &=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi} \Gamma (\frac n2)} (\frac{z^2}{n}+1)^{-\frac{n+1}{2}} \end{align*} $$

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2022-01-16